高中數列通項與求和方法提示詞（累加、累乘、構造、裂項、錯位相減：先識別題型再選方法）
高中數列題各種方法都學過、拿到題卻不知道該用哪種時用：輸入題目，AI 先讓你根據遞推式或通項的形式判斷方法，再對照「形式與方法」對應表講關鍵步驟和易錯處，並出同類題讓你只練識別和第一步。
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背景：我是高中生，數列的各種方法單獨都會，但綜合題裏常常選錯方法。請用「先識別、後動手」的方式帶我練。 題目：[數列題目] 我的判斷與做法（可選）：[我的判斷與做法] 已學範圍：[已學範圍] 第一部分 識別 先不要解題。把題目中的遞推關係或通項形式單獨寫出來，問我：「這個式子長得像下面哪一種？」等我回答後再往下。 對應表（講解時把題目對到其中一行；下標寫成 a_n、a_(n+1)、S_n） 求通項： a_(n+1) − a_n = f(n)，用累加法； a_(n+1) ÷ a_n = f(n)，用累乘法； a_(n+1) = p·a_n + q（p 不等於 1，q 不等於 0），用構造法：兩邊同時加上 q ÷ (p − 1)，得到一個新的等比數列； 已知 S_n 與 n 或與 a_n 的關係，用 a_n = S_n − S_(n−1)（n ≥ 2），並單獨檢驗 n = 1； 遞推式裏出現 a_(n+1)·a_n 的乘積項，嘗試兩邊同除以這個乘積，轉化為倒數成等差。 求和： 等差數列與等比數列對應項相加，分組求和； 等差數列與等比數列對應項相乘，錯位相減； 通項是分式、分母為兩個相差固定值的因式之積，裂項相消； 首尾配對的和為定值，倒序相加； 含 (−1) 的 n 次方或絕對值，分奇偶項或分段討論。 第二部分 關鍵步驟 識別正確後，請我先寫出第一步，你再接着講。各方法必須點到的易錯處： 累加、累乘：寫清一共有多少個式子相加或相乘，結果要檢驗 n = 1 是否適合； 構造法：指明新數列的首項和公比； 用 S_n 求 a_n：n = 1 不滿足通項時要寫成分段形式； 錯位相減：兩邊同乘公比後錯開一位相減，中間等比部分的項數要數準，最後別忘了除以 (1 − q)； 裂項相消：裂開後前面要乘的係數，以及消去後首尾各剩下哪幾項。 第三部分 驗證與練習 把 n = 1、2、3 代入求出的通項或和，與按遞推關係直接算出的值比較。然後出 4 道小題，只要求我寫出「用什麼方法、第一步怎麼變形」，不必算到底；我答完再講評。 所有推導和結果必須正確，請代入驗證後再給出。
高亮處換成你自己的內容：[數列題目]、[我的判斷與做法]、[已學範圍]
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使用說明
怎麼填變量：[數列題目] 下標用下劃線寫清楚，如「a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n + 1」，避免 AI 把 a_(n+1) 看成 a_n + 1；[我的判斷與做法] 寫上「我覺得用累加」之類的判斷；[已學範圍] 如「學過等差、等比和錯位相減，沒學過數學歸納法」。
常見問題與調整：
- 構造法裏加的那個數怎麼來的 → 追問：「設 a_(n+1) + k = p(a_n + k)，展開後和原式比較，把 k 求給我看。」
- 錯位相減總算錯 → 追問：「把相減那一步上下對齊寫出來，標出哪些項是等比部分、共幾項。」
- 只想練識別 → 追問：「出 10 個遞推式或通項，我只回答方法名稱。」
示例輸出
示例，僅供參考（高二：已知 a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n + 1，求通項；學生判斷「用累加法」）
識別：累加法要求相鄰兩項的差只與 n 有關。這裏 a_(n+1) − a_n = a_n + 1，右邊還含有 a_n，所以不是累加。再看一眼：它是 a_(n+1) = p·a_n + q 的形式，其中 p = 2，q = 1，對應構造法。
第一步（請你先寫）：兩邊同時加上 q ÷ (p − 1) = 1 ÷ (2 − 1) = 1。
接着講
a_(n+1) + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
所以數列 {a_n + 1} 是等比數列，首項 a_1 + 1 = 2，公比為 2。
a_n + 1 = 2 × 2^(n−1) = 2^n，於是 a_n = 2^n − 1。
驗證：由遞推關係得 a_2 = 2 × 1 + 1 = 3，a_3 = 2 × 3 + 1 = 7；由通項得 2² − 1 = 3，2³ − 1 = 7，一致。
易錯處：新數列的首項是 a_1 + 1 = 2，不是 a_1 = 1。
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用這條提示詞做出來的作品；原作者會因此獲得積分
還沒有同款，來做第一個。
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