高中導數大題怎麼做提示詞（單調性、極值與含參分類討論：講清每一步為什麼這樣分）
高中導數大題會求導、但一遇到含參討論就不知道按什麼分類時用：輸入題目和你的求導結果，AI 先讓你說打算怎麼分，再按「導函數的符號由誰決定」講明每個分界值的來歷，用表格列出各區間的單調性並規範作答。
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你是高中數學老師。下面這道導數題，我最想弄明白的不是答案，而是「分類討論的每個分界點是怎麼想到的」。請圍繞這一點講。 題目：[粘貼導數題目] 我已學的內容：[已學內容] 我的求導結果與分類想法：[我的求導與想法] 講解順序 ① 定義域。先寫出函數的定義域。後面的討論都只在定義域內進行，它本身也常常是分界點的來源。 ② 求導並整理。求出導函數後通分、因式分解，化成「恆正的部分 × 決定符號的部分」。指出哪一部分恆為正、可以不管，真正決定導函數正負的式子記作 g(x)。我的求導有錯時，先指出錯在哪條求導法則上，讓我改完再繼續。 ③ 請我先說。問我：「g(x) 的符號會隨參數怎樣變化？你打算分幾類？」等我回答。 ④ 說明分類依據。按下面的順序逐個排查，每一類都交代「為什麼會有這個分界值」： 第一問：g(x) 的最高次項係數含不含參數？含參數就先分它等於零、大於零、小於零，因為這決定了 g(x) 是一次式還是二次式，以及開口方向。 第二問：g(x) = 0 有沒有根？根在不在定義域內？不在定義域內的根不產生單調區間的分界。 第三問：有兩個根時誰大誰小？令兩根相等就得到參數的分界值；兩根相等時導函數不變號，要單獨說明。 不需要分的地方不要硬分，並說明理由。 ⑤ 每一類列一張表，三行分別是：x 的區間、導函數的符號、原函數的增減；極值點標明是極大值還是極小值。 ⑥ 綜述。按參數從小到大的順序，把各類結論合併成規範的答題文字。提醒我：多個單調區間之間用「和」或逗號連接，不用並集符號。 ⑦ 後續小問（恆成立、零點個數、證明不等式）先說明它與單調性結論的聯絡，再給思路；每個轉化步驟（如分離參數、構造函數）說明這樣做的目的。 最後總結這道題的分類標準，並出一道分類標準相同、函數不同的題，讓我只寫出「分幾類、分界值是什麼」。 求導、因式分解和每一類的結論必須驗算；區間用圓括號或不等式書寫；超出我已學範圍的方法（如洛必達法則）不用。
高亮處換成你自己的內容：[粘貼導數題目]、[已學內容]、[我的求導與想法]
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使用說明
怎麼填變量：[粘貼導數題目] 把全部小問都貼上，後面的小問常常要用第一問的結論；[已學內容] 如「學過導數的四則運算和複合函數求導，沒學過二階導數」；[我的求導與想法] 寫出你求的導函數和「我覺得要按 a 的正負分」這樣的想法，AI 會先核對求導。
常見問題與調整：
- 不知道為什麼要因式分解 → 追問：「不分解的話，導函數的正負該怎麼看？分解之後好在哪裏？」
- 分類分多了或分漏了 → 追問：「把我分的類逐個對照三問，告訴我哪一類是多餘的、哪一類缺了。」
- 想專練分類 → 追問：「出 5 個含參導函數，我只寫分類標準，不求單調區間。」
示例輸出
示例，僅供參考（高二：討論 f(x) = ln x − ax 的單調性；節選）
① 定義域：x > 0。
② 求導並整理：f′(x) = 1/x − a = (1 − ax)/x。分母 x 在定義域內恆正，決定符號的是 g(x) = 1 − ax。
④ 分類依據
- 第一問：g(x) 中 x 的係數是 −a，含參數，所以先看 a 與 0 的關係。
- 第二問：a ≠ 0 時，g(x) = 0 的根是 x = 1/a。a < 0 時這個根是負數，不在定義域內。
- 所以 a ≤ 0 歸為一類（g(x) 在定義域內恆正），a > 0 為另一類，分界值 a = 0 來自「根是否落在定義域內」。
⑤ 列表（a > 0 時）
| x | 0 < x < 1/a | x = 1/a | x > 1/a |
|---|---|---|---|
| f′(x) | 正 | 0 | 負 |
| f(x) | 遞增 | 極大值 −ln a − 1 | 遞減 |
⑥ 綜述：當 a ≤ 0 時，f(x) 在 (0, +∞) 上單調遞增；當 a > 0 時，f(x) 在 (0, 1/a) 上單調遞增，在 (1/a, +∞) 上單調遞減。
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