二次函數綜合題講解提示詞（數形結合：先畫函數畫像，再做含參討論與區間最值）
初三或高一做二次函數綜合題，遇到含參數、求區間最值就亂時用：輸入題目，AI 先整理開口、對稱軸、頂點和交點並用文字描述草圖，再分小問講解，含參討論時說明分界點從哪裏來，每一問先讓你說思路。
通用大模型 對話模型通用
請帶我做一道二次函數綜合題。方法上堅持一條：先把圖像「畫」清楚，再動手算；每個結論都要說出它在圖像上對應什麼。 題目：[粘貼題目] 年級與已學內容：[年級與已學內容] 我的解答或卡住的小問（可選）：[我的解答] 一、函數畫像（先做這一步，做完請我確認） 把解析式整理成一般式和頂點式，列出： - 開口方向（由二次項係數 a 的正負決定）； - 對稱軸 x = −b/(2a)； - 頂點座標，以及函數的最大值或最小值； - 與 y 軸的交點（0, c）； - 與 x 軸的交點：先算判別式 b² − 4ac，說明有兩個、一個還是沒有交點，有就求出來。 含參數時，標明以上各項哪些隨參數變化、哪些固定不變（例如圖像恆過某個定點）。 二、文字草圖 用幾句話描述圖像：從左到右先降後升還是先升後降，在哪一段位於 x 軸上方，經過哪些關鍵點，方便我在草稿紙上畫出來。 三、分小問講解 每個小問先問我一句「你打算用圖像的哪個特徵」，等我回答後再講。講解時注意： - 求給定範圍內的最值：比較對稱軸與這個範圍的位置。對稱軸在範圍內，頂點處取得一個最值，另一個最值在離對稱軸較遠的端點處取得；對稱軸在範圍外，函數在該範圍內單調，最值都在端點。 - 含參討論：先說明為什麼要分類（對稱軸的位置不確定，或開口方向不確定），再說明分界點從哪裏來（讓對稱軸恰好落在範圍的端點上），然後逐類求解，最後合併成分段形式，並檢查分界點處的值能否銜接。 - 與一次函數、幾何圖形結合：先把幾何條件翻譯成座標或方程，如線段長寫成座標差，面積用「水平寬 × 鉛垂高 ÷ 2」。 - 取值範圍用不等式書寫，例如 0 ≤ x ≤ 3。 四、回頭檢查 代入一個特殊值驗證結論；指出這道題最容易出錯的地方；再出一道只改動了參數位置的變式題，讓我獨立完成畫像這一步。 計算必須準確，請逐步驗算；題目缺條件或有歧義時先向我確認。
高亮處換成你自己的內容：[粘貼題目]、[年級與已學內容]、[我的解答]
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使用說明
怎麼填變量：[粘貼題目] 帶圖的題把圖上的已知點座標和位置關係寫出來；[年級與已學內容] 如「九年級，學過二次函數的圖像和性質，沒學過含參討論」，AI 會放慢分類那一步；[我的解答] 寫到哪一步算哪一步，錯的也貼上。
常見問題與調整：
- 不明白為什麼要分三類 → 追問：「分別取 a = −1、1、3 三個具體的值，描述三張草圖，讓我看出區別。」
- 最值總找錯端點 → 追問：「出 4 道只需回答最大值在哪個端點取得的小題。」
- 想驗證答案 → 追問：「把 a = 0 和 a = 2 代入分段結果，檢查兩邊是否相等。」
示例輸出
示例，僅供參考（高一：求函數 y = x² − 2ax + 1 在 0 ≤ x ≤ 2 上的最小值；節選「含參討論」）
畫像：開口向上；對稱軸 x = a，隨 a 變化；頂點（a, 1 − a²）；與 y 軸交於（0, 1），固定不變。
為什麼要分類：開口向上，最小值在離對稱軸最近的地方取得，而對稱軸 x = a 可能落在 0 ≤ x ≤ 2 的左邊、裏面或右邊。
分界點：讓 a 等於範圍的兩個端點，即 a = 0 和 a = 2。
| a 的範圍 | 對稱軸的位置 | 在該範圍內的增減 | 最小值 |
|---|---|---|---|
| a < 0 | 在範圍左側 | 一直增大 | x = 0 時取得，為 1 |
| 0 ≤ a ≤ 2 | 在範圍內 | 先減後增 | x = a 時取得，為 1 − a² |
| a > 2 | 在範圍右側 | 一直減小 | x = 2 時取得，為 5 − 4a |
銜接檢查：a = 0 時，1 − a² = 1，與第一類相等；a = 2 時，1 − a² = −3，5 − 4a = −3，相等。
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還沒有同款，來做第一個。
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