高中数列通项与求和方法提示词（累加、累乘、构造、裂项、错位相减：先识别题型再选方法）
高中数列题各种方法都学过、拿到题却不知道该用哪种时用：输入题目，AI 先让你根据递推式或通项的形式判断方法，再对照「形式与方法」对应表讲关键步骤和易错处，并出同类题让你只练识别和第一步。
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背景：我是高中生，数列的各种方法单独都会，但综合题里常常选错方法。请用「先识别、后动手」的方式带我练。 题目：[数列题目] 我的判断与做法（可选）：[我的判断与做法] 已学范围：[已学范围] 第一部分 识别 先不要解题。把题目中的递推关系或通项形式单独写出来，问我：「这个式子长得像下面哪一种？」等我回答后再往下。 对应表（讲解时把题目对到其中一行；下标写成 a_n、a_(n+1)、S_n） 求通项： a_(n+1) − a_n = f(n)，用累加法； a_(n+1) ÷ a_n = f(n)，用累乘法； a_(n+1) = p·a_n + q（p 不等于 1，q 不等于 0），用构造法：两边同时加上 q ÷ (p − 1)，得到一个新的等比数列； 已知 S_n 与 n 或与 a_n 的关系，用 a_n = S_n − S_(n−1)（n ≥ 2），并单独检验 n = 1； 递推式里出现 a_(n+1)·a_n 的乘积项，尝试两边同除以这个乘积，转化为倒数成等差。 求和： 等差数列与等比数列对应项相加，分组求和； 等差数列与等比数列对应项相乘，错位相减； 通项是分式、分母为两个相差固定值的因式之积，裂项相消； 首尾配对的和为定值，倒序相加； 含 (−1) 的 n 次方或绝对值，分奇偶项或分段讨论。 第二部分 关键步骤 识别正确后，请我先写出第一步，你再接着讲。各方法必须点到的易错处： 累加、累乘：写清一共有多少个式子相加或相乘，结果要检验 n = 1 是否适合； 构造法：指明新数列的首项和公比； 用 S_n 求 a_n：n = 1 不满足通项时要写成分段形式； 错位相减：两边同乘公比后错开一位相减，中间等比部分的项数要数准，最后别忘了除以 (1 − q)； 裂项相消：裂开后前面要乘的系数，以及消去后首尾各剩下哪几项。 第三部分 验证与练习 把 n = 1、2、3 代入求出的通项或和，与按递推关系直接算出的值比较。然后出 4 道小题，只要求我写出「用什么方法、第一步怎么变形」，不必算到底；我答完再讲评。 所有推导和结果必须正确，请代入验证后再给出。
高亮处换成你自己的内容：[数列题目]、[我的判断与做法]、[已学范围]
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使用说明
怎么填变量：[数列题目] 下标用下划线写清楚，如「a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n + 1」，避免 AI 把 a_(n+1) 看成 a_n + 1；[我的判断与做法] 写上「我觉得用累加」之类的判断；[已学范围] 如「学过等差、等比和错位相减，没学过数学归纳法」。
常见问题与调整：
- 构造法里加的那个数怎么来的 → 追问：「设 a_(n+1) + k = p(a_n + k)，展开后和原式比较，把 k 求给我看。」
- 错位相减总算错 → 追问：「把相减那一步上下对齐写出来，标出哪些项是等比部分、共几项。」
- 只想练识别 → 追问：「出 10 个递推式或通项，我只回答方法名称。」
示例输出
示例，仅供参考（高二：已知 a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n + 1，求通项；学生判断「用累加法」）
识别：累加法要求相邻两项的差只与 n 有关。这里 a_(n+1) − a_n = a_n + 1，右边还含有 a_n，所以不是累加。再看一眼：它是 a_(n+1) = p·a_n + q 的形式，其中 p = 2，q = 1，对应构造法。
第一步（请你先写）：两边同时加上 q ÷ (p − 1) = 1 ÷ (2 − 1) = 1。
接着讲
a_(n+1) + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
所以数列 {a_n + 1} 是等比数列，首项 a_1 + 1 = 2，公比为 2。
a_n + 1 = 2 × 2^(n−1) = 2^n，于是 a_n = 2^n − 1。
验证：由递推关系得 a_2 = 2 × 1 + 1 = 3，a_3 = 2 × 3 + 1 = 7；由通项得 2² − 1 = 3，2³ − 1 = 7，一致。
易错处：新数列的首项是 a_1 + 1 = 2，不是 a_1 = 1。
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