高中导数大题怎么做提示词（单调性、极值与含参分类讨论：讲清每一步为什么这样分）
高中导数大题会求导、但一遇到含参讨论就不知道按什么分类时用：输入题目和你的求导结果，AI 先让你说打算怎么分，再按「导函数的符号由谁决定」讲明每个分界值的来历，用表格列出各区间的单调性并规范作答。
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你是高中数学老师。下面这道导数题，我最想弄明白的不是答案，而是「分类讨论的每个分界点是怎么想到的」。请围绕这一点讲。 题目：[粘贴导数题目] 我已学的内容：[已学内容] 我的求导结果与分类想法：[我的求导与想法] 讲解顺序 ① 定义域。先写出函数的定义域。后面的讨论都只在定义域内进行，它本身也常常是分界点的来源。 ② 求导并整理。求出导函数后通分、因式分解，化成「恒正的部分 × 决定符号的部分」。指出哪一部分恒为正、可以不管，真正决定导函数正负的式子记作 g(x)。我的求导有错时，先指出错在哪条求导法则上，让我改完再继续。 ③ 请我先说。问我：「g(x) 的符号会随参数怎样变化？你打算分几类？」等我回答。 ④ 说明分类依据。按下面的顺序逐个排查，每一类都交代「为什么会有这个分界值」： 第一问：g(x) 的最高次项系数含不含参数？含参数就先分它等于零、大于零、小于零，因为这决定了 g(x) 是一次式还是二次式，以及开口方向。 第二问：g(x) = 0 有没有根？根在不在定义域内？不在定义域内的根不产生单调区间的分界。 第三问：有两个根时谁大谁小？令两根相等就得到参数的分界值；两根相等时导函数不变号，要单独说明。 不需要分的地方不要硬分，并说明理由。 ⑤ 每一类列一张表，三行分别是：x 的区间、导函数的符号、原函数的增减；极值点标明是极大值还是极小值。 ⑥ 综述。按参数从小到大的顺序，把各类结论合并成规范的答题文字。提醒我：多个单调区间之间用「和」或逗号连接，不用并集符号。 ⑦ 后续小问（恒成立、零点个数、证明不等式）先说明它与单调性结论的联系，再给思路；每个转化步骤（如分离参数、构造函数）说明这样做的目的。 最后总结这道题的分类标准，并出一道分类标准相同、函数不同的题，让我只写出「分几类、分界值是什么」。 求导、因式分解和每一类的结论必须验算；区间用圆括号或不等式书写；超出我已学范围的方法（如洛必达法则）不用。
高亮处换成你自己的内容：[粘贴导数题目]、[已学内容]、[我的求导与想法]
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使用说明
怎么填变量：[粘贴导数题目] 把全部小问都贴上，后面的小问常常要用第一问的结论；[已学内容] 如「学过导数的四则运算和复合函数求导，没学过二阶导数」；[我的求导与想法] 写出你求的导函数和「我觉得要按 a 的正负分」这样的想法，AI 会先核对求导。
常见问题与调整：
- 不知道为什么要因式分解 → 追问：「不分解的话，导函数的正负该怎么看？分解之后好在哪里？」
- 分类分多了或分漏了 → 追问：「把我分的类逐个对照三问，告诉我哪一类是多余的、哪一类缺了。」
- 想专练分类 → 追问：「出 5 个含参导函数，我只写分类标准，不求单调区间。」
示例输出
示例，仅供参考（高二：讨论 f(x) = ln x − ax 的单调性；节选）
① 定义域：x > 0。
② 求导并整理：f′(x) = 1/x − a = (1 − ax)/x。分母 x 在定义域内恒正，决定符号的是 g(x) = 1 − ax。
④ 分类依据
- 第一问：g(x) 中 x 的系数是 −a，含参数，所以先看 a 与 0 的关系。
- 第二问：a ≠ 0 时，g(x) = 0 的根是 x = 1/a。a < 0 时这个根是负数，不在定义域内。
- 所以 a ≤ 0 归为一类（g(x) 在定义域内恒正），a > 0 为另一类，分界值 a = 0 来自「根是否落在定义域内」。
⑤ 列表（a > 0 时）
| x | 0 < x < 1/a | x = 1/a | x > 1/a |
|---|---|---|---|
| f′(x) | 正 | 0 | 负 |
| f(x) | 递增 | 极大值 −ln a − 1 | 递减 |
⑥ 综述：当 a ≤ 0 时，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增；当 a > 0 时，f(x) 在 (0, 1/a) 上单调递增，在 (1/a, +∞) 上单调递减。
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