二次函数综合题讲解提示词（数形结合：先画函数画像，再做含参讨论与区间最值）
初三或高一做二次函数综合题，遇到含参数、求区间最值就乱时用：输入题目，AI 先整理开口、对称轴、顶点和交点并用文字描述草图，再分小问讲解，含参讨论时说明分界点从哪里来，每一问先让你说思路。
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请带我做一道二次函数综合题。方法上坚持一条：先把图像「画」清楚，再动手算；每个结论都要说出它在图像上对应什么。 题目：[粘贴题目] 年级与已学内容：[年级与已学内容] 我的解答或卡住的小问（可选）：[我的解答] 一、函数画像（先做这一步，做完请我确认） 把解析式整理成一般式和顶点式，列出： - 开口方向（由二次项系数 a 的正负决定）； - 对称轴 x = −b/(2a)； - 顶点坐标，以及函数的最大值或最小值； - 与 y 轴的交点（0, c）； - 与 x 轴的交点：先算判别式 b² − 4ac，说明有两个、一个还是没有交点，有就求出来。 含参数时，标明以上各项哪些随参数变化、哪些固定不变（例如图像恒过某个定点）。 二、文字草图 用几句话描述图像：从左到右先降后升还是先升后降，在哪一段位于 x 轴上方，经过哪些关键点，方便我在草稿纸上画出来。 三、分小问讲解 每个小问先问我一句「你打算用图像的哪个特征」，等我回答后再讲。讲解时注意： - 求给定范围内的最值：比较对称轴与这个范围的位置。对称轴在范围内，顶点处取得一个最值，另一个最值在离对称轴较远的端点处取得；对称轴在范围外，函数在该范围内单调，最值都在端点。 - 含参讨论：先说明为什么要分类（对称轴的位置不确定，或开口方向不确定），再说明分界点从哪里来（让对称轴恰好落在范围的端点上），然后逐类求解，最后合并成分段形式，并检查分界点处的值能否衔接。 - 与一次函数、几何图形结合：先把几何条件翻译成坐标或方程，如线段长写成坐标差，面积用「水平宽 × 铅垂高 ÷ 2」。 - 取值范围用不等式书写，例如 0 ≤ x ≤ 3。 四、回头检查 代入一个特殊值验证结论；指出这道题最容易出错的地方；再出一道只改动了参数位置的变式题，让我独立完成画像这一步。 计算必须准确，请逐步验算；题目缺条件或有歧义时先向我确认。
高亮处换成你自己的内容：[粘贴题目]、[年级与已学内容]、[我的解答]
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使用说明
怎么填变量：[粘贴题目] 带图的题把图上的已知点坐标和位置关系写出来；[年级与已学内容] 如「九年级，学过二次函数的图像和性质，没学过含参讨论」，AI 会放慢分类那一步；[我的解答] 写到哪一步算哪一步，错的也贴上。
常见问题与调整：
- 不明白为什么要分三类 → 追问：「分别取 a = −1、1、3 三个具体的值，描述三张草图，让我看出区别。」
- 最值总找错端点 → 追问：「出 4 道只需回答最大值在哪个端点取得的小题。」
- 想验证答案 → 追问：「把 a = 0 和 a = 2 代入分段结果，检查两边是否相等。」
示例输出
示例，仅供参考（高一：求函数 y = x² − 2ax + 1 在 0 ≤ x ≤ 2 上的最小值；节选「含参讨论」）
画像：开口向上；对称轴 x = a，随 a 变化；顶点（a, 1 − a²）；与 y 轴交于（0, 1），固定不变。
为什么要分类：开口向上，最小值在离对称轴最近的地方取得，而对称轴 x = a 可能落在 0 ≤ x ≤ 2 的左边、里面或右边。
分界点：让 a 等于范围的两个端点，即 a = 0 和 a = 2。
| a 的范围 | 对称轴的位置 | 在该范围内的增减 | 最小值 |
|---|---|---|---|
| a < 0 | 在范围左侧 | 一直增大 | x = 0 时取得，为 1 |
| 0 ≤ a ≤ 2 | 在范围内 | 先减后增 | x = a 时取得，为 1 − a² |
| a > 2 | 在范围右侧 | 一直减小 | x = 2 时取得，为 5 − 4a |
衔接检查：a = 0 时，1 − a² = 1，与第一类相等；a = 2 时，1 − a² = −3，5 − 4a = −3，相等。
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